Após a criação do mundo, em
um mosteiro na Índia, o Grande Criador colocou uma placa de bronze e nela fixou três bastões cobertos de diamantes. Em
um dos bastões, em ordem
decrescente de tamanho, colocou 64 discos de ouro. E assim disse aos monges: “Transfiram esta pilha de discos para outro bastão, movendo,ininterruptamente,
um disco de cada vez e nunca permitindo que um disco maior fique acima de um
menor. Quando terminarem essa tarefa e os 64 discos estiverem em
outro bastão, este templo se reduzirá a pó e com um estrondo de trovões o
mundo acabará.
É claro que essa
história é apenas uma lenda, mas serve de motivação para que o professor faça
a pergunta: Quando o mundo vai acabar? Na verdade o problema foi formulado
e resolvido pelo matemático francês Édouard
Lucas(1842 - 1891) em 1883, no terceiro
volume da sua obra Récréations mathématiques . O problema está relacionado
com um jogo que ficou conhecido como Torre de Hanói que consiste num tabuleiro onde se devem fixar hastes
verticais (cilíndricas e iguais), “n” discos(circulares), não havendo dois discos com o mesmo diâmetro. Cada disco
tem um pequeno orifício no centro de
forma a poder ser enfiado em qualquer uma das hastes. No início do jogo,todos
os discos devem ser enfiados na mesma haste por ordem decrescente. O objetivo
do jogo é transferir todos os discos de
forma a reconstruir a torre numa das outras hastes, obedecendo
às seguintes regras:
1. Em cada movimento só poderá ser transferido um disco;
2. Em nenhum dos movimentos
poderá o jogador colocar um disco sobre outro de menor diâmetro.
Édouard Lucas afirma ter conhecido o jogo da Torre de Hanói através de Claus, um professor de Filosofia e Cálculo no Colégio
Li-Sou-Stian, na cidade de Bangkok, capital do reino indo chinês do Sião. O próprio Claus teria sabido do jogo, por acaso,
numa das inúmeras viagens que empreendia pela Indochina
a fim de recolher informações sobre as muitas obras dispersas do genial matemático siamês Fer-fer-tam-tam. Em uma de suas viagens teria
tomado conhecimento da lenda. Atualmente a Torre de Hanói é um jogo educativo que visa o desenvolvimento da lógica espacial e
dedutiva.
Diante dessas informações, pergunto: Quantos movimentos, no mínimo, são
necessários para mover 1 peça, 2 peças, 3 peças e “n” peças? Quantos movimentos serão necessários para mover as 64 peças?
Os resultados obtidos são (1, 3, 7, 15,
31,....). Será que podemos formular alguma lei através desta sequencia?
Muitos alunos depois de algum tempo descobrem a lei:
Mn= 2n – 1,
onde “n” é o número de discos da torre.
Mas o
problema continua... Quantos movimentos são necessários para mover 64
discos? Com as leis formuladas acima,
necessitamos saber o número anterior de movimentos, ou seja, 63 discos. Ainda é
muito difícil. Será que existe uma outra lei que não necessite do número de
movimentos dos discos anteriores?
Consideremos que esta
sentença seja verdadeira sempre! Isto
significa que 264-1 é o
número de movimentos que os monges terão que fazer para mover toda a torre.
Fazendo este cálculo com auxilio de uma calculadora científica obtemos 1.8446744
19.
O que
significa o ponto? E aquele 19 afastado? O ponto quer dizer vírgula
e, como o número é muito grande não cabe no visor da calculadora, por isto a notação científica. Significa que
existem 19 algarismos depois do ponto. Se
utilizarmos a calculadora do computador, que tem um visor maior, encontraremos
o número
18446744073709551615
que permite descobrir o número exato de movimentos. Como
lemos este número?
Dezoito
quintilhões, quatrocentos e quarenta e seis quatrilhões, setecentos e quarenta
e quatrotrilhões, setenta e três bilhões, setecentos e nove milhões, quinhentos
e cinqüenta e um mil,seiscentos e quinze.
Com um pouco mais de
Matemática vamos calcular quanto tempo isto vai levar. Suponhamos que os monges
demorem em torno de 1 segundo para mover cada peça. Quer dizer que eles
levarão 264-1 segundos para transferir as 64 peças.Quantos segundos
têm um ano?
1 minuto = 60 segundos
1 hora = 60 minutos
1 dia = 24 horas
1 ano = 365 dias
Logo,
60 x 60 x 24 x 365 = 31.536.000 segundos que
também será o número de movimentos por ano,
pois os monges demoram 1 segundo para movimentar cada peça. Vale lembrar que um
ano tem 365 dias e 6 horas. Podemos ainda acrescentar as 6 horas. Quantos
anos os monges levaram para transferir as 64 peças?
Nº total de movimentos = 264– 1 = 584.942.417.355 anos.
Nº total de movimentos = 264– 1 = 584.942.417.355 anos.
Nº de movimentos por ano 31.536.000.
Quase 585 bilhões de anos.
Quase 585 bilhões de anos.
Os
cientistas afirmam que a idade do Sistema Solar é de aproximadamente 4 bilhões de anos, isto quer dizer que
faltam 581 bilhões de anos para que os monges terminem sua tarefa
- isto supondo que eles não errarão no caminho.
Significa
que não veremos o mundo acabar tão cedo!
A
maioria dos trabalhos envolvendo a Torre de Hanói pára por aqui, porém ainda é possível
criar várias situações, como por exemplo:
• Quantas
peças uma pessoa que vive 80 anos poderia transferir se iniciasse este trabalho
aos 10 anos de idade sem nunca parar?
• Quantas
pessoas aproximadamente seriam necessárias para mover os 64 discos se cada uma delas
iniciasse aos 10 anos de idade e fosse movendo discos até os 80 anos?
Atividades como esta, também podem ser trabalhadas utilizando os recursoscomputacionais, pois existem vários endereços na Internet
em que pode ser copiado o jogo, tais como:
fonte: http://pt.scribd.com/doc/36798840/Brincando-Com-a-Torre-de-Hanoi-e-Os-Fractais#scribd
